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算筹:一场别开生面的数学竞赛

  • 发布时间:2015-10-10 01:31:21  来源:科技日报  作者:佚名  责任编辑:罗伯特

  ■武林科话

  如果问“金庸小说中谁是数学达人”?想必很多人会不假思索地回答“神算子瑛姑”,因为其人扎实的数学功底,所以获得了和梁山好汉蒋敬一模一样的外号,令人印象深刻。

  中国数学(或者说“算术”,后者更严谨)历史非常悠久,远远超出一般人的想象。早在原始社会末期,随着私有制和物物交换的产生,原始算术开始萌芽,距今6000多年的仰韶文化、半坡文化遗址,已经出现了数字符号和几何图形。

  夏商时期,中国出现了世界最早的十进制计数法,这是一个了不起的发明,一直影响至今。十进制或许是因为双手共十指的原因,但当统计数字超过十,双手不够用了,古人就有必要借助于其他计数工具。故而,从西周开始,算筹这种计数工具就出现了,在《射雕英雄传》小说中,这也是瑛姑的武器——用来点穴。

  算筹又称为算、筹、策、算子等,是一种由竹、木、骨、铁等材质制造的扁平薄片,在算盘发明之前,它统治了近两千年的计算岁月。小说中,郭靖和黄蓉第一次看到瑛姑时,她正趴在地上摆算筹,计算55225的平方根。

  小说中写道“那些算子排成商、实、法、借算四行”,这些专有名词,在北宋贾宪的增乘开方法(求高次幂的正根法)和南宋秦九韶的正负开方术(高效次方程数值求解法)里,都曾出现。

  黄蓉轻易口算出55225的平方根是235、34012224的立方根是324,数学水平可比瑛姑高多了,估计比同时代的秦九韶还要强上几分。瑛姑不服气,用“天元之术”向黄蓉发起挑战。

  天元术是宋元时期发展起来的设未知数列方程的方法,南宋李冶在《敬斋古今黈》中记载了天元术早期发展的一些情况:早先东平有一关于建立方程的方法算经,以仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼等19个汉字表示未知数的各次幂,正幂在上,负幂在下,以“人”作为常数项。《射雕英雄传》忠实地还原了这个典故。

  瑛姑出的题目是“四元术”,出现了天元、地元、人元、物元等专有名词。其实这来自于元代数学家朱世杰的《四元玉鉴》,所谓“四元术”就是今日的多元高次方程列式与消元解法,虽然也很奇妙,但离9次方的“仙”、-9次方的“鬼”还差得很远,所以根本不会给黄蓉造成什么麻烦。

  恼羞成怒的瑛姑竟然用九宫图来刁难黄蓉——九宫图是中国最早的纵横图,亦称幻方,据说是从黄帝和大禹时期的河图洛书里发明的。西汉末期的《周易·乾凿度》记载说“太乙取其数以行九宫,四正四维皆合于十五”。换句话说,1到9这九个数字放在九宫格里,不论横竖斜排列,数字相加都是15。

  这道题目非常简单,我在小学三年级的暑假作业里就遇到过,也经常在各种小学奥数班习题里见到。但是,瑛姑竟然不知道!

  黄蓉背出了九宫格的口诀(也就是答案),“九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央”。这个口诀的出处是北朝甄鸾的《数术记遗注》,该书描述说“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央”,一口气解开了这个三阶纵横图的小秘密。

  瑛姑面如死灰,黄蓉适当补刀,又列出了四四图、五五图、百子图,都是纵横图。黄蓉口述了四四图的口诀,“以十六字依次作四行排列,先以外四角对换,一换十六,四换十三,后以内四角对换,六换十一,七换十。这般横直上下斜角相加,皆是三十四”,这段文字一字不差地记载在南宋杨辉的《续古摘奇算法》之“易换术”中,是解开四阶纵横图的不二法门。

  虽然纵横图早在《周易》时代就已问世,但杨辉是世界上最早对幻方进行系统研究的数学家。他把纵横图从单一的方形扩散到圆形、梅花形、雪花形、九宫八卦形乃至于连环形,杨辉的奇异形纵横图因其多样性和对称性,创造了纵横图研究的一个巅峰,《中国科学技术史》的作者李约瑟对此深表钦佩。

  在小说中,黄蓉又显摆了九宫八卦图的奥秘,说“那九宫每宫又可化为一个八卦,八九七十二数,以从一至七十二之数,环绕九宫成圈,每圈八字,交界之处又有四圈,一共一十三圈,每圈数字相加,均为二百九十二”。

  金庸心目中的“九宫八卦图”就是杨辉创造的“连环图”,由9个小圈三三组合,一共能构成13个小圈,每个小圈上的数字相加总值衡为292。

  为了反击瑛姑,黄蓉也布下了三道难题,分别是:包括日、月、水、火、木、金、土、罗睺、计都的“七曜九执天竺笔算”“立方招兵支银给米题”“鬼谷算题”。有热心的网友表示,前面两道题分别讲的是不定积分和等差数列,而最后一题据我考证出自东晋末期的《孙子算经》,答案是23。

  这么看来,瑛姑的算术水平确实不如黄蓉,比之黄药师更是天差地远,她要破解桃花岛的迷宫救出老顽童,确实难度不小。

  中国古代数学是世界科技、文化宝库中一颗璀璨的明珠,在四大文明古国的数学史上,中国数学持续繁荣的时间最长,所取得的成绩也最为光彩夺目。中国古代数学先后历经了两汉、魏晋南北朝和宋元三个发展高峰,并在明清之交与西方数学展开了积极的交流与合作。

  作为基础学科,中国数学在古代还是颇受重视的:《伏羲女娲图》上,伏羲手持矩、女娲手持规,代表“天圆地方”;周代的贵族教育体系,称之为“六艺”,指的是礼、乐、射、御、书、数,其中的“数”就是算数(算术、数学);《周髀算经》和《九章算术》开创了中国数学的先河;隋唐两宋,都有专门的国家算术研究机构,还有专门针对算术的科举考试项目……然而,明清以后,随着八股文的指定和垄断,中国数学走向了没落。反观西方,欧洲逐步迈进资本主义社会,近代数学受生产力的刺激快速发展,这一进一退之间,中国和西方在数学水平之间的差距越拉越大。

  金庸小说中,“数学”元素并不多见,无非瑛姑的算筹、黄蓉的试题、黄真的算盘。黄真是明末清初人物,彼时算盘已经彻底取代了算筹被应用于人民日常生活中,但黄真的算术水平可能非常一般,他手上的那把算盘是兵器而不是计算器,说起来也是相当可惜的。

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